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问题特征对圆标准方程类比迁移的影响

发布作者:admin     发布时间:2013-02-17 10:38

摘     要
    类比迁移对生活在21世纪的人来说,并不是什么比较陌生的概念.早期就有很多学者做了很多关于类比迁移的研究,但是这些研究主要是集中在简单类型的学习迁移问题上,对较高级学习类型之一的问题解决学习中的迁移现象所做的研究则相对较少,这也是对类比迁移研究较空白的领域之一.然而,随着社会经济的发展,人们对认知心理学的了解和研究不断深入,利用认知心理学来解决问题也是现今较热门的话题.问题解决类比迁移研究逐渐成为80年代以来迁移领域最受人关注的焦点之一.正是由于以上原因,本文把类比迁移选为文章的理论基础,结合数学这门学科的特点,研究问题特征对圆标准方程类比迁移的影响.
    本文首先讲解了什么是类比迁移现象,同时还讲述了为什么要对类比迁移进行分析和研究,也就是类比迁移的意义.虽然不同的学者对类比迁移的阶段划分有不同的观点,但是大致来说,他们都同意把类比迁移分成四个发展阶段,分别是源问题和靶问题的编码、表征靶问题的基础上对源问题的提取、源问题应用到靶问题和运用源问题解决靶问题时的图式归纳,并结合调查研究说明问题特征对类比迁移的影响.关于问题特征对圆标准方程类比迁移的影响的过程,本文从认知心理学的角度出发,结合类比迁移的阶段划分,认为问题特征对类比迁移的一般认知过程包括三个过程,这三个过程分别为“建立数学问题的表征”、“提取源数学问题,具体匹配”、“图式归纳,优化原有认知结构” .同时,本文还结合数学学科特点,用类比迁移的结构映射理论、实用图式理论、示例理论的这三个理论,结合不同的数学例子,从不同的角度去分析问题特征对院标准方程类比迁移的影响.
    问题特征对类比迁移的影响是类比迁移研究中一个非常重要的内容,本文借鉴国内外对类比迁移研究的已有成果,提出了问题特征对圆标准方程类比迁移的建议和如何培养学生的数学问题解决类比迁移能力.影响类比迁移的因素有很多,主要包括问题之间的相似性,知识、动机和能力等等.分析类比迁移是是分有必要的,理论意义和实践意义都是十分巨大的.对类比迁移的研究,可以使我们更好地认识思维的本质和结构.同时,类比迁移是学习科学知识和数学知识、学习新技能、培养创造性、进行科学发现和探索的一个重要途径.有关类比迁移的研究,对教育体制的改革和发展,对我们学习新技能和新知识具有重要的实践意义和指导意义.
    在数学教学中,作为老师的我们经常遇到两个不同的问题或是知识系统,它们存在类似的结构、一致的原理、相同的本质联系或相同的构成部分等共性因素,这些相似之处统筹会成为解决问题的关键或是获得新知识的一个突破口,这是数学学习中影响类比迁移的一个主要客观因素,也是数学学习中产生迁移的基因.
     本文针对学生的问题特征对圆标准方程类比迁移的影响的现状,做了一份调查,主要采取的研究方法是测验法和调查问卷法,采用测试题检验和调查问卷的原因是这两种研究方法比较可靠,同时效率较高.在这次调查中,有效被试184人,经过对数据的统计分析,可以得出以下结论:大多数人的类比迁移能力较好,在测试中表现较为良好;其中,也有一部分表现较差,部分题目结果不是很令人满意,不会运用类比迁移来分析问题;同时,数据还显示,问题特征对圆标准方程的类比迁移影响巨大.
     通过理论研究与实例调查,本文对如何培养学生的数学问题解决类比迁移能力提出了几点建议:重视学生对数学知识的掌握;进行数学问题解决类比迁移教学设计;在数学教学中渗透数学思想方法教学.本论文给出几点建议以培养学生的数学问题解决类比迁移能力:提高学生的数学动机水平;提高学生的数学监控能力;培养学生形成良好的数学自我效能感.
关键字:类比迁移;问题特征;数学问题解决;影响因素
    教学和教育的根本目的,是为了让学生把在学校学习到的知识应用到以后的学习和生活中去.迁移现象普遍存在于学习和生活之中,如何运用好迁移知识是一个重要问题.现今,国内外学者对类比迁移现象都比较感兴趣,这方面的研究也比较多,“为迁移而教”已成为当今教育界流行的一个极有吸引力的口号.
一、类比迁移的概述
1类比迁移的概说
1.1类比迁移概念
   当遇到一个新问题时,理论上称为靶问题,人们统筹会想起一个以前的相似的问题,并且这个问题是已经被解决了,理论上这个问题称为源问题 ,并运用源问题的解决方法和程序去解决靶问题,解决这一问题的策略就被称为类比迁移(analogical transfer).在某些情景下,类比迁移发生在相同或非常接近的概念领域,这种类比迁移称为相同领域间的类比迁移(within - domain analogical transfer);在另外一些情况下,类比迁移现象并不是发生在结构特征相同的概念领域,而是发生在具有相同的结构特征的两种不同的概念领域,这种类比迁移现象被称为不同领域间的类比迁移(between - domain analogical transfer).大多数研究人员都认同类比迁移是解决所有新问题的一个主要方法,更有一些研究人员认为它是解决新问题的唯一方法.虽然这些观点都比较极端,但是从某个程度上可以看出,类比迁移在解决问题中的重要性十分明确,类比迁移是人们解决很多问题所运用到的一个策略.
1.2类比迁移的研究意义
(1) 理论意义
    之所以有认知科学,之所以进行认知研究,主要是为了解人类思维的结构和本质.但是,思维具有结构敏感性和灵活性,这两种主要特性对于我们的研究提出了很大的挑战.思维的结构敏感性,问题解决、推理和学习依赖我们对事物之间关系操纵和进行编码的能力.人们一般在解决和以前不尽相同的新问题时,往往应用的是学过的知识,也是思维的灵活性的表现.在类比迁移的研究中,思维的结构敏感性和灵活性这两种特征,得到很明显的体现.人类思维是是极其灵活,同时也具有广阔的发散性,能从不同和类似的问题上找出相同点,进而解决问题.只有对类比迁移现象进行更加深入的研究,才能研究出更多解决问题的方法,使一些不完全相同的问题套用以前解决类似问题的方法,使我们更好地认识思维的结构和本质.
(2 )实践意义
    大量关于类比迁移的研究表明,类比迁移是学习科学知识和数学知识、学习新技能、培养创造性、进行科学探索和发现的一个重要途径.这是因为从远古时期人类就认识到,只有学习才能进步,只有学习生活才会提高,生存环境才能得到改善.人类文明是从人类学会运用工具开始的,不断的学习使人类文明走向了一个一个高峰.同时,学习并不仅仅是简单地掌握抽象规则,增加新知识,成功的学习经常依靠我们从记忆中提取相关的技能和知识,并在此基础上去学习以前从未接触富过的技能和知识,也就是类比迁移.
     在高中数学学习过程中,常常遇到两个不同的问题或是不同的知识系统,它们存在许多共性因素,比如类似的结构、一致的原理、相同的本质联系或相同的构成部分等等,这些共性因素往往就成为新知识的增长点或是问题解决的突破口,他们是影响类比迁移的一个主要客观因素,也被称为是数学学习中产生迁移的基因..圆的标准方程问题的学习作为高中数学数学学习的一个重要内容,也是解析几何思想初步渗透的内容,是很多数学知识的基础,与后续课程联系紧密,起着承上启下的重要作用.鉴于上述重要作用,在高中数学教学中,无论如何重视类比迁移都不过分,在重视类比迁移的同时,更注重运用类比促进迁移.因此,这些关于类比迁移的研究,必将为我们学习新技能和知识,对教育的改革和发展具有重要的指导意义和实践意义.
2类比迁移的理论基础
     在类比迁移研究中主要有三种理论,它们分别是:结构映射理论( structure – mapping theory),实用图式理论(pragmatic schema theory)和示例理论(exemplar theory).
2.1结构映射理论
     结构映射理论的主要创始人Gentner ,她认为:类比迁移是一个结构映射过程,源问题各因素之间的关系,即结构,被提取并被用于解决靶问题.类比迁移产生的前提是结构映射,没有结构映射就没有类比迁移.源问题和靶问题的内容,包括问题中的事物和语义领域, 相对来说则不如结构映射重要.在源问题的提取阶段起作用是问题的内容,但是在应用于靶问题和选择源问题的解决阶段,起着主要作用的是问题的结构.结构映射理论区分了问题的结构和内容,内容包括属性(attributes)和条目(entities) ,属性是指条目的属性,如堡垒问题中的高高的将军中的“高高的”,如堡垒问题中的“堡垒”和“将军”.条目指问题中出现的事物或个体.问题结构是指高级关系(high - order relation)和初级关系(low - order relation).高级关系是指在初级关系基础上建立的关系,如堡垒问题中的将军从多个方向同时在城堡下集合军队引起将军的军队攻占了城堡.初级关系指两个物体之间的关系所形成的完整命题,如堡垒问题中的将军从多个方向同时在城堡下集合军队.靶问题和源问题之间的映射或匹配可以发生在多种水平上,如属性之间、事物之间、复杂关系和初级关系.然而,在解决问题的过程中,我们必须遵循系统性原则,也就是复杂关系所构成的关系系统被选择和应用到靶问题的解决中去.那些事物的属性以及孤立的低级关系与问题是否解决毫无关系,因此这些属性和低级关系在映射过程中则会被扔掉.如上面举例中,堡垒问题是否解决与堡垒的性质也就是堡垒是“高高的”毫无关系,则不会迁移到靶问题.
2.2 实用图示理论
Holyoak 和他的同事们提出并发展实用图示理论,他们认为: 实用图式在类比迁移的映射阶段和选择阶段起着重要的作用.那么什么是实用图示呢,实用图式有助于问题目标完成的关系的抽象概括, 即指对问题因果关系.对靶问题因果关系和源问题因果关系相似性的再认, 这些相似性的关系引导着相关源问题的选择和提取, 同时还有助于解决靶问题.该理论区别了基于问题基础上的问题解决和基于图式基础上的问题解决.基于问题基础上的问题解决是一个问题应用到同一水平的另一个问题解决中去, 抽象问题对抽象问题,通常是具体问题对具体问题(如声波模型和光波模型) ;基于图式基础上的问题解决是一个抽象原则应用到一个问题的解决中去.而实用图式理论认为,虽然通过对单个类比问题进行推理可以解决问题, 但是源问题成功地类比迁移到靶问题的关键却是一个完整图式的发展和形成, 它在源问题类比迁移到靶问题中起到一个桥梁和纽带的作用.实用图示理论强调了图式归纳的存在及其在问题解决中的机制和作用.图式归纳并不是自动形成的,而是通过教师的指导才能形成一个图式, 或者通过两个或多个类比问题的映射和比较, 这是实用图式理论的观点.一个类比问题由于没有机会和其它类比问题建立映射关系,所以不足以形成一个图式.非因果关系的因素是不能成为图式的,图式归纳是建立在对问题解决因果分析的基础上, 与问题解决因果相关的因素则被编码成为图式.同时,该理论还认为提取相关的源问题可以通过实用图式, 或者通过表面特征的重叠的匹配.实用图式对提取不同领域的类比迁移有重要的作用,这是因为在同一领域的类比迁移中, 表面特征对提取相关的源问题起着重要的作用;由于源问题和靶问题很少或者几乎没有相似的表面特征, 所以在不同领域的类比迁移中, 实用图式对提取相关的源问题中起到重要的作用.
 
2.3示例理论
示例理论是由Ross提出和发展起来的,他认为:人们先前学过的知识,学习到的例子,在迁移中起到决定性的作用,并引导抽象原则解决靶问题.只有在例子中,抽象的原则才能被理解和运用.以前学过的例子,也就是低水平的信息,储存在人的记忆里,用于解决新的问题.
大部分对类比迁移的学者都认为,图式不可避免地要从具体事例中归纳推理出来.然而,也有示例理论的个别研究者认为,在类比迁移中其实是不存在图式归纳的.
该理论具体将问题的内容分为两个部分:总的语义领域和具体的事物或元素两个方面.在源问题的激活和提取过程中,语义领域起着重要作用,然而,在应用阶段,具体元素则起着重要的影响作用.综上,在类比迁移的各个阶段,问题内容都起着非常重要的作用.
同时,与我们数学教学相符合的是,该理论还强调了示例在解决问题中的作用.在数学教育中,一般通过对示例的讲解,能使学生们更好更精准的掌握所要学习的理论知识.但是,该理论并不是完美的,也有一定的局限性,比如说该理论没有明确示例的性质,然而示例是个具体事物,经过大脑转化加工之后,会变成图式.迁移的过程是对头脑中的图式进行迁移,而不是将原来的示例加以改变.
3、影响类比迁移的因素
3.1 问题之间的相似性
问题之间的相似性能够促进迁移,问题之间越相似,越能促进决策的迁移.两个问题之间的是否相似可以从以下三个方面相比较:抽象原则(abstract principles) , 实验环境(experiment context )和问题内容(problem content ) 的相似性.问题内容主要包括表面元和语义领域两个方面的内容.抽象原则在正规问题中指公式, 如在物理问题和数学中,存在着大量的公式,这些公式都是抽象原则;然而在无法定义的问题中, 抽象原则常常被称为深层结构和图式.实验环境不仅实验过程中的背景,还包括实验程序和实验者等.综上所述,两个问题之间在抽象原则、实验环境和问题内容方面的相似性对类比迁移的影响是非常复杂的,是我们不能忽视的,是值得探讨的问题.
3.2知识、动机和能力
心理学家一直都比较关注一个问题,那就是儿童在多大年龄才能以类比的方式解决新问题.一些心理学家认为, 12 岁以下的儿童不能产生类比迁移,因为他们缺乏类比推理的心理能力.后来的一些研究者也认同12 岁以下的儿童不能运用类比的方式解决新问题,原因却和上面心理学家不同,他们认为并不是因为12岁以下的儿童缺乏类比推理的能力, 而是他们缺乏类比迁移的动机,同时受概念知识有限所制约.现在的研究表明,包括对成年人的研究,成人在某一专业领域知识的多少和能力的高低是其能否产生类比迁移的关键,而与总类比推理能力的高低无显著相关.
4.数学分析教学中的类比迁移
迁移可理解为“认知结构(即学生头脑里的知识结构)对新的学习的影响”,达到有效地实现正迁移,是一切教学的目标,当然包括数学教学.我们可以通过某种途径,把新的问题或者是学习纳入到原有的认知结构中去,使原有的只是在心的问题情景中产生正迁移.那么,这个“认知桥梁”就是沟通认知结构和新的学习途径.如何会扩大知识的正迁移量呢,关键是设计好认知桥梁.在任何学习中,类比都是一种十分好的认知桥梁,当然也包括数学分析教学.具体来说就是新的问题或者是学习纳入到原有的认知结构中去,桥梁是类比,产生知识的迁移.在数学教学中,有四种方式可以产生迁移,分别是:通过离散与连续类比产生迁移、通过有限与无限类比产生迁移、通过低维与高维类比产生迁移和通过逻辑思维过程进行类比产生迁移.
5.利用迁移优化数学知识结构
圆标准方程是数学学习中的重要内容,与后续课程紧密联系在一起,对后期课程的学习影响也十分的巨大,要学好数学,就不能忽视对圆标准方程的学习.要学习好数学专业基础知识,获得研究数学的思路,建立起数学的整体概念,利用迁移优化数学知识结构是十分必要的.
类比迁移是解决问题最常用的策略之一,也是迁移研究比较常用的范式.一般来说,成功的学习统筹依靠的是从我们的记忆中提取相关的技能和知识,同时在此基础上学习新的技能和知识.因此,类比迁移是我们在学习和创造过程中一个重要的手段,只有充分利用迁移来优化数学知识结构,才能更好的实现迁移学习的目标.
   利用迁移来优化数学知识结构是有一个创造型的过程,在这一创造型的过程中,不但要注意问题与问题、知识与知识之间的相似性,更应该把这个相似性作为解决问题的出发点,努力的学习新的知识,同时加以归纳.这样的话不仅可以实现数学学习的正迁移效果,还能使学生的原来所学到的知识和文化机构实现整合和优化,形成良性循环,为进一步的类比迁移提供必要的基础和条件.
二、问题特征的相关概述
1.问题特征的概念
任一客体都具有众多特性,人们根据一群客体所共有的特性形成某一概念.这些共同特性在心理上的反映,称为该概念的特征.特征可以作为标志的显著特点,是事物异于他事物的特点 .问题作为数学学科知识要点的集中体现,是学生学习能力培养的重要载体.问题特征也就是该问题的显著特点,区别于其他问题的特点,也就是这一个或是一类问题所共有的特性,这些共同特性在心理上的反映.例如,在数学教学中,圆的标准方程和椭圆的标准方程是不一样的,即便是不同的圆,他们有着不同的圆标准方程式,但是他们共同的特征都是一样的,椭圆也同样如此.在比如,在日常生活中,不同的问题有不同的特点,根据这个问题的特点和性质我们可以将这些问题归位不同类型,应用不同的方法去解决不同类型的问题.
2.从问题特征看圆标准方程解题策略
    不同的数学问题包含不同的内容,所需要解决的问题也是不尽相同的,它们形式多样,千变万化,变化多端.但是,虽然数学问题的差异很明显,但是其一般都包含三个特征,分别是:知识概念、内在规律、知识交融.那么,在解决数学问题的过程中,我们不能被它们的外表所迷惑,也不能被其透入出来的困难所吓倒,而是要发现规律,揭示本质,进而达到提高解题能力的目的.如何从问题特征看圆标准方程呢,我们应该做到以下三点:
    第一,寻根溯源,挖掘实质.著名数学教育家G波利亚在在《怎样解题》中指出:如果我们所知并不比定义多, 最好回到定义去.要解决一个数学问题,首先得了解所要分析的问题的定义,例如一个关于双曲线的问题,这就要求你首先得了解什么是双曲线,进而得知双曲线有哪些性质,最后利用双曲线的定义和性质去解决要被解决的问题.在解题的过程中,首先要做到的是抓住关键词,在上述例子中,关键词是双曲线,在抓住关键词以后才能看清问题的主要特征,明确题目所问你的是什么,你要从哪方面去解决这个问题.同时,在解决数学问题时,你更应该看清出题目中所包含的隐藏条件,只有用心的去发掘这些隐藏条件,依循考察方向,问题的本质和规律才能被揭露出来,问题才能迎刃而解.
第二,迁移转化,方法制胜.数学思想方法在知识交融时起到了关键作用,它揭示了原理和概念间的本质和规律,是沟通知识的一座桥梁.例如,求函数y= √(x - 2)+ √(9- 2x)的最值.通常,在解决这种问题时,我们都会把等号两边平方,这样只会把问题弄得更复杂.然而,通过观察,我们可以观察出这个式子的特征,两项相加求最值,根号内两式通过处理相加可为常数2(x - 2) + ( 9- 2x ) = 5,因此可采用换元法解决.通过换元法,这个问题很快就能得到解决,比一开始的将等号两边平方更简单、直接.由上述例子,我们可以发现解决问题方法的重要性.解决问题在于转化,而转化的重点则在于运用恰当的数学方法.举个形象的例子来说,函数思想体现了函数、方程与不等式间的相互转化,数形结合思想体现了数与形的相互转化,分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化等.因此,应合理选择简便的数学方法,弄清题意和问题特征,合理选择简单便捷的数学方法,把问题从生疏化为熟悉,从复杂化为简单,使问题得到合理的解决.
第三,探索规律,开拓创新.探索数学问题的内在规律,对我们要求很高,不但要考察解题能力,还要检测数学素养.上述要求就需要我们大胆猜测、放开思想、寻变求异、充分想象、积极探索.在探索数学规律时,有前人总结了很多的方法,一般有:假设求解法、直接求解法、寻求模型法等等,但都需要通过对问题的特征进行观察、猜测、分析、概括、比较、推理等手段,通过上述过程老设计解题途径、确定目标,最后解决问题.只有不断对数学规律进行探索,在前人的基础上,进行创新,通过各式各样的解决数学问题的方法,把要解决的数学问题完好的解答.
3.表面特征和结构特征在类比迁移中作用的实验研究及不同结论
3.1.1 表面特征和结构特征的有关研究现状
在学习样例的过程中,学术争论的焦点是样例的表面特征和结构特征如何影响原理知识的通达和运用.
Holyoak,Gick及Reed等人的研究指出,测题的表面内容与样例的相似性只影响到原理的通达,而影响不到关系的匹配,也就是原理的应用过程.一旦找到合适的类比源后,原理的应用过程即关系的匹配将不再受两者表面内容相似性的影响,而只是对问题所包含的结构信息敏感.
Ross做了一系列构思巧妙的实验,并由这些实验得出,样例的表面内容不仅对类比源的选取起作用,而且对匹配过程中也有影响.根据研究结果,Ross提出了表面内容影响问题解决的基本观点:表面内容可以分解为对象对应和表面概貌两个方面,样例与问题的表面概貌相似性可不影响原理的运用,而会以影响原理的通达;两者的对象对应相似性对原理的通达没有影响,主要影响原理的运用.
莫雷等人将表面概貌进一步分离,把表面样貌分为事件类型和事件属性,他们做了一些列实验,通过这些实验表明,这些分解不是毫无作用的,还是起很大作用的.然而,我们不能证明这是最合理的分解.我们都知道,不同成份的相似性对原理影响作用有不同效果,莫雷、唐雪峰通过这一思路,将表面概貌再分解为问题形式问题形式和具体属性;他们还将对象对应再分解为具体对象对应和表述顺序对应.这一分解修正了Ross的结论,他们认为表面概貌中问题形式对原理运用影响作用最关键,这种问题形式包含了问题最重要的数学信息,而问题的具体属性的差异所起的干扰作用就较小.研究认为对表面概貌分为具体属性和问题形式是较为合理的,对其做进一步分离是有意义的;同时还认为,表述顺序的改变会明显影响被试对对象对应的判断,尽管其包含的信息没有少.对象对应是反映原理各个变量之间与问题的具体对象的对应关系,对象对应对原理运用是至关重要的,数学关系与引文对象数字对应匹配一旦错误,以前所做的一些列东西都将作废,变得毫无意义,我们在研究时经常会忽视这些地方,没有引起足够的重视.
3.1.2 目前有关问题特征对类别迁移的影响研究中存在的争议性问题
(1)在回忆和应用阶段, 问题的结构和表面信息那一个更重要?
各个类比迁移理论争论的焦点问题一直聚集在问题的结构特征和表面特征哪一个更重要,到死是问题的结构特征还是问题的表面特征,为此,大量学者经常争论.实用图式理论和结构映射理论都认为, 在回忆阶段,问题的表面信息和抽象信息是同等重要的, 然而在应用阶段, 实用图式和问题的结构则更加重要;示例理论则认为,表面信息在记忆阶段更加重要, 而问题的结构信息在应用阶段更加重要.
(2)图式归纳是自动的还是策略的? 图式归纳是保守性的还是消除性的?
 在提供几个解决原则相似的问题的前提下, 图式归纳就会自动产生,这是自动的图式归纳的观点;然而策略的图式归纳则认为, 只有通过对两个或更多的问题之间的相似性进行比较, 即通过对两个问题的深层结构进行有目的有意识地编码,或通过用一个问题解决另一个问题时的映射过程, 或通过对一个或几个例子的图式原则进行指导和加工, 图式归纳才能产生.图式归纳不是自动的,示例理论和实用图式理论都认为, 图式归纳是策略的,需要通过对类比问题的比较或者映射才能产生.而结构映射理论却不这样认为,结构映射理论认为只要提供几个相似的问题, 认知系统则会自动地检测到它们的重叠程度, 然后把这些重叠的特征作为独立的问题表征储藏起来,对问题结构的认知是自动的.
保守性图式归纳认为, 图式归纳之后的抽象原则与某些表面信息一起, 保存在记忆中分别以不同的表征形式.消除性图式归纳认为, 图式归纳之后, 那些具体事例或表面信息则被遗忘, 而只有结构的信息保存在记忆中.结构映射理论认为这种图式归纳是消除性的, 在类比迁移的过程中,只有结构特征启动并决定着迁移,那些事物的属性以及孤立的低级关系被遗忘.而示例理论和实用图式理论则认为这种图式归纳是保守性的.问题的表面特征一定保存在记忆中,这是因为问题的表面特征的相似性能够促进迁移, 同时由于源问题和靶问题之间缺乏相似性,这直接导致同一领域解题迁移的成功率要大于不同领域的解题迁移的成功率.
王永明与张庆林在他们的研究中提出:“当被试还是一个‘新手’的情况下,表面信息是否还是必要的?” 这主要是针对在不同领域内的被试,他们图示归纳的方式是否存在差异的问题;在连四清、王雷的高中数学解决图示归纳方式的比较研究中,提出了“图示归纳的方式是保留性的”观点,这一观点是不支持多痕迹理论的,而认为学生对数学问题的图示归纳可以是消除性的,至少不完全是保留性的.这最终说明学生类型与取决于哪种方式有关,不能用一种方式来对待不同类型的学生:而学困生往往依赖源靶问题的表面特征,图示归纳的方式是保留性的.学优生更多的是依靠源靶问题的结构性特征,图示归纳的方式是消除性的.对普通被试而言,长时记忆的相关研究表明,次要的、表面的信息比结构性的信息更容易遗忘.
4.目前类比迁移研究存在的特点
(1)从实验材料看,目前类比研究的实验材料大部分以知识贫乏领域问题或问题类或数学的应用题类,对国内对于跨学科问题解题迁移的研究也不多,尤其是以界定良好的学科问题为材料进行的研究并不多.
(2)不同学者对问题的表面相似性和结构相似性对迁移的影响的研究结论不同,有的甚至区别很大,对于结构特征和表面特征再分解是否合理和必要还没有统一的结论,还有待更多更深入的研究. Ross等人更多地关注问题的表面相似性,他将表面内容分解为对象对应和表面概貌两个方面,他对表面概貌没有更进一步的分解,而是具体探讨表面内容不同方面的相似性对类比问题解决的作用,他得出测题表面概貌与样例的相似性对原理运用没有显示出应影响的作用.莫雷也进行了一系列的研究,他研究出来的结果和Ross相同,他是支持Ross的观点的.然而,莫雷也不是完全认同Ross的观点,他对Ross的观点进行了一些修正,认为对应用题类表面内容的分解是合理和必要的.
(3)对问题特征相似性如何影响类比迁移的研究比较多见,然而对个体差异的实验研究则相对较少.虽然Novick的研究表明当源问题和靶问题结构特征不同,表面特征相似时,提到了学生的不同能力的影响:“新手”和“专家”都可能会形成错误的类比,也不是说“专家”就一定会形成正迁移,“新手”就一定会产生负迁移,只是说一般来讲“新手”比“专家”更易产生负迁移,“专家”比“新手”更容易产生正迁移;在王雷等的研究中,王雷等人也讨论了学优生和学困生在进行解题时,他们会选择不同图式归纳的方式及选择,学困生更依赖于源靶问题的表面特征,而学优生更依赖于源靶问题的结构特征.然而,在实际课堂中,占大部分比例的是学习能力中等的学生,学优生和学困生只是占课堂的少数比例,因此,本研究选择的大部分是学习能力中等的学生,他们将作为本研究的被试者.
三、调查研究与分析讨论
1.研究设计
1.1研究目的 
了解学生类比迁移能力的现状,探讨学生在圆的标准方程问题解决中问题特征对类比迁移的影响,包括学优生、学中生、学困生等方面是否存在差异,并进一步分析形成差异的原因,为教学提供理论参考.
1.2 实验设计(方法)
本实验采用3(学生类型:数学学优生、数学学良生、数学学困生)×2(材料类型:例题有解答、例题无解答) ×2(2种圆心给出方式:给出圆心、不给出圆心)×(2种半径给出方式:给出半径、不给出半径)重复测量实验设计.其中,学生类型和材料类行为被试间因素,圆心和半径的给出方式的问题特征为被试内因素.
被试:在北京市第十九中学的高一年级280名学生中,按数学成绩选取学优生30名,学中生113名,学困生38名,共计181人
1.3 研究程序
(1) 确定学习材料与实验材料
圆标准方程问题类比迁移的考察,要求被试逐一进行试卷答题测试.材料来源:设计学习材料和测验材料两套,学习材料作为源问题,含有圆的标准方程的概念及表示方法,并有两个例题,按照例题的给出方式分成例题有解答和无解答2种;测试材料作为靶问题,每套材料都含6个小题,为了避免顺序效应,材料按小题目的顺序不同分为6种.
(2) 实测
在学校老师的帮助下,在学习圆的标准方程内容之前安排测试.学生学完学习材料(15分钟)之后,收回学习材料;然后,用测试材料(15分钟)对学生进行测验.控制学生做题时间,当堂收回试卷.
(3) 数据处理
经过仔细筛选、剔除无效测试试卷后,对保留试卷进行编码,运用统计软件包SPSS17.0 for Windows,进行数据录入、分析和处理.
2.研究内容
2.1实验研究一
(1) 实验设计
本实验采用3(学生类型:数学学优生、数学学中生、数学学困生)×2(材料类型:例题有解答、例题无解答) ×2(2种圆心给出方式:给出圆心、不给出圆心)×(2种半径给出方式:给出半径、不给出半径)重复测量实验设计.其中,学生类型和材料类行为被试间因素,圆心和半径的给出方式的问题特征为被试内因素.
提取6道测试题中的4道不同问题特征的问题,分别设计为圆心已知半径已知;圆心已知半径未知;圆心未知半径已知;圆心未知半径未知.
(2)研究目的
探讨问题特征(圆心已知半径已知;圆心已知半径未知;圆心未知半径已知;圆心未知半径未知)、学生类型(数学学优生、数学学良生、数学学困生)和材料类型(例题有解答、例题无解答)对高中生圆标准方程解题迁移效果的影响.
(3) 实验结果
对被试答卷进行评分,每道题满分10分.评分标准:答案完全正确记10分,迁移策略正确但是最后结果不正确,酌情扣0--2分,只求出圆心信息给5分,只求出半径信息记5分,有两个标准方程的但是只写出一个的记5分,圆心半径的解求策略正确但是写错标准方程的形式的记8分.表1列出了在24种条件下解答问题的成绩.
对学生类型、材料类型和问题特征对迁移成绩的影响进行重复测量方差分析,结果表明:圆心(已知,未知)的问题特征的主效应达到显著水平[F=61.342,P<0.001];半径(已知,未知)的问题特征的主效应显著[F=89.457,P<0.001];优中困的学生类型的主效应显著[F=33.170,P<0.001];有无解答的材料类型主效应不显著[F=0.03,P>0.05].这些结果表明:圆心在已知和未知两种水平下,迁移成绩上存在显著差异;半径在已知和未知两种水平下,迁移成绩上也存在显著差异;学优生、学中生和学困生在迁移的成绩上存在显著差异;有解答和无解答的样例材料对迁移成绩不存在显著差异.
圆心和半径的交互作用显著[F=127.609,P<0.001];问题特征和学生类型二者的交互作用不显著,这说明:圆心和半径在已知和未知四种水平下,迁移成绩存在着显著差异.
圆心和学生类型交互作用不显著[F=2.139,P>0.05],这表明:在学优生、学中生和学困生三种学生类型下,圆心已知和未知对迁移的成绩具有相似的作用.
半径和学生类型交互作用不显著[F=8.121,P>0.05],这表明:在学优生、学中生和学困生三种学生类型下,半径已知和未知对迁移的成绩具有相似的作用.
圆心和材料类型二者的交互作用不显著[F=0.411,P>0.05],这表明:在圆心已知和未知两种水平下学习材料的有解答和无解答对迁移成绩不存在显著差异.
半径和材料类型二者的交互作用不显著[F=1.416,P>0.05],这表明:在半径已知和未知两种水平下学习材料的有解答和无解答对迁移成绩不存在显著差异.
材料类型和学生类型二者交互作用不显著[F=0.598,P>0.05],这表明:在材料类型为有解答和无解答两种模式下,优中困三类学生对迁移成绩不存在显著差异.
圆心、半径和学生类型三者的交互作用不显著[F=0.246,P>0.05],这表明:在圆心和半径已知未知的四种水平下,优中困三类学生对迁移成绩不存在显著差异.
圆心、半径和材料类型三者的交互作用不显著[F=0.050,P>0.05],结果说明:在圆心和半径已知未知的四种水平下,有解答和无解答的样例材料对迁移成绩不存在显著差异.
圆心、学生类型和材料类型三者交互作用不显著[F=0.744,P>0.05],这表明:在圆心已知和未知两种水平下,优中困三类学生的层次下,学习有解答和无解答两种样例材料对迁移成绩无显著差异.
半径、学生类型和材料类型三者交互作用不显著[F=1.480,P>0.05],这表明:在半径已知和未知两种水平下,优中困三类学生的层次下,学习有解答和无解答两种样例材料对迁移成绩无显著差异.
圆心、半径、学生类型、材料类型四者交互作用显著[F=1.613,P>0.05],这表明:在四种水平的问题特征下优中困三类学生层次下,在有解答和无解答的两种样例材料下对迁移成绩不存在显著差异.
(4) 分析与讨论
   问题特征(圆心(已知;未知)×半径(已知;未知))对迁移的影响,实验结果表明,圆心的已知和未知对迁移的成绩存在显著影响.这说明,对于当前的被试而言,圆心已知情况下更利于学生迁移求出半径,从而求出圆的方程,圆心未知的情况下,不利于学生求出半径和标准方程;半径的已知和未知对迁移的成绩也存在显著影响.也就是说,题目中半径已知的情况下,学生能较好地求出半径,从而进一步求出圆的方程.圆心和半径的交互作用显著,在圆心已知半径已知的情况下,有助于学生写出标准方程,在圆心已知半径未知的条件下.
2 实验研究二
(1) 实验设计
本实验在试验一基础上进一步研究圆心和半径均未知的情况下,圆心的不同未知类型、材料类型和学生类型对学生迁移成绩的影响.故采用3(学生类型:数学学优生、数学学良生、数学学困生)×2(材料类型:例题有解答、例题无解答) ×3(3种圆心未知形式:圆心以直径方式表达、圆心在一条直线上、圆心没有给出特定位置)重复测量实验设计.其中,学生类型和材料类行为被试间因素,圆心的未知类型的问题特征为被试内因素.
(2) 研究目的
探讨问题特征(圆心的不同未知类型:圆心以直径方式表达、圆心在一条直线上、圆心没有给出特定位置)、学生类型(数学学优生、数学学良生、数学学困生)和材料类型(例题有解答、例题无解答)对高中生圆标准方程解题迁移效果的影响.
四、问题特征对圆标准方程类比迁移的影响
    上述调查与理论分析为研究问题特征对圆标准方程类比迁移提供了理论基础,探索了问题特征解决类比迁移的影响因素,为以后的数学教学提供了有益的建议.无论是在哪个阶段的数学教学中,圆标准方程都是一个十分重要的内容,在数学教学中起着承上启下的作用.如果能够有效促进正的类比迁移,那么将为数学学习和教学做出重大共贡献,不但可以触类旁通,举一反三,还可以达到事半功倍的效果.
(1)进行变式教学,让学生从样例比较中获得抽象原则
很多在表面看来差别很大的问题,实际上在深层数学结构上却是相同或是相似的,那么就可以用相似的数学方法来解决这些问题.与抽象原则相比,示例理论认为,以前学过的例子相比起抽象原则,以前学过的例子更占优势,例子在类比迁移中起着决定性的重要作用.大部分示例理论的研究者认为,图式归纳不但存在,还能从具体示例中归纳推理出来.因此,在数学教学中,老师应该多总结或设计一些“一题多解”、“一题多变”、“一解多题”的数学联系,让学生能够举一反三、触类旁通,通过对几个题目进行比较,总结出相应的解题策略、方法,也就是归纳出相应的抽象规则.学生吃透这些问题后,当他再次遇到这些问题,他就能很好的运用正迁移,把先前获得的抽象原则类比迁移到问题中去,从而解决这类问题.
(2)设计中间类比迁移问题,引导学生逐步实现类比迁移
     在数学学习的过程中,我们经常会遇到这样的情况,那就是课本所讲解的习题比较容易,而课后习题所要解决的问题则相对困难的多.那么,在遇到类似这种源问题简单,目标问题很难的情况下,教师可以设计另外一些难度在源问题和目标问题之间的迁移问题,让学生先把这些问题解决,再去解决目标问题.只有让学生逐步体会问题之间关系上的相似之处,逐步完成数学问题解决类比迁移.这是数学老师在教育过程中应该注意的问题,只有逐步引导学生学习,才能让学生把问题了解的更透彻,而不是云里雾里,或是生搬硬套,更有甚者是根本不明白该如何实现正迁移,解决目标问题.
(3)加强学生对数学基本知识结构的掌握
    类比迁移的前提是有源问题,并且源问题得到解决,有一定的解决方法.也就是说,在数学教学中,要解决一些目标问题,那么首先就要求有一定的数学基础知识,否则你就没有解决问题的知识来源.教师在教学的过程中,要重视数学中的数学定理、法则、公式统称为产生式的精加工,不但如此,还要对这些产生式的条件进行加工,举个例子来说,教师可以概括的产生式分解成较小的产生式,或是指导学生将简单的产生式合并成复杂的产生式,
这样就有助于提高学生应用公式的熟练程度,同时还有助于提高学生对数学产生式规则的识别能力,促进产生式在新的问题中的应用,只有这样才能醋精数学问题解决的类比迁移.在高中数学教学中,教师应该通过总结数学知识结构,揭示数学知识之间的联系,促进学生数学认知结构的良好组织,促进圆标准方程类比迁移.知识之间如果是孤立的不能被联系起来的,不但不利于提取也不利于记忆,只有促进对数学知识网络之间的联系,才能加深对数学知识的理解,更好的运用数学知识解决目标问题.
(4)引导学生积累数学解题情景性知识
     在解决具体数学问题之后,对该问题的条件和背景进行记忆概括,积累数学解题情景性知识,从而得到解决某一类型的数学问题比较有数的数学解题模式、数学方法的解题经验.如何获得数学解题的情景性知识,这是数学教师在教学过程中应该注意的问题.教师在教学中需要要求学生通过数学解题活动进行积累,不但要强调积累数学解题情景性知识,还要注意在课堂教学中重视揭示新旧数学问题之间的联系,识别数学模式,对问题进行分类,在这种情况下,学生能够自动养成积累数学解题情景性知识的习惯,从而提高学生的类比迁移意识.学生在解题的时候,能够举一反三,触类旁通,从一两个问题的解答上熟悉这一整类问题的解决方法,这是类比迁移的最普通形式的运用,也是最重要的运用方式之一.
(5)在数学教学中渗透数学思想方法教学
     一般来说,数学概念的形成过程包括方法的思考过程,结论的推导过程,规律的被揭示过程,问题的发现过程等等,数学思想方法往往蕴藏在这些过程之中.解题方法对数学教学的重要性是不言而喻的,只有掌握解题策略,学生才能解答出题目,把数学学好.在数学教学过程之中,分散的数学知识需要适时渗透到教学的各个环节,还有必要把这些分散的知识进行整理,使学生在不知不觉中理解和掌握数学知识.在类比迁移过程中,数学思想方法发挥主要作用,用先前数学解题中掌握的数学思想方法去解决新问题,也就是学会数学思想方法.因此在数学教学中,在揭示数学题目之间的联系时,数学思想方法类比迁移是一个十分重要的方法,不但可以提高学生学习数学的兴趣,促进学生掌握数学思想方法,这也是促进问题特征对圆标准方程类比迁移的一个良好的建议.一般来说,数学思想方法往往和数学解题的思维策略联系在一起,灵活运用数学思想方法可以促进解题策略的形成.在数学教育中,教师要循循善诱,而不是跨越极大的难度,让学生一开始就做难度系数很高的题目.只有引导学生,使学生把数学思想方法上升为数学解题的思维策略,类比迁移才能得到更广泛的应用.
2培养学生的数学问题解决类比迁移能力
(1) 提高学生的数学监控能力
首先,利用目标激励和目标强化,引导解题的思维过程.在学生的自我监控能力培养过程中,有一个至关重要的因素,那就是目标体系的强化,这一因素对学生的解题发挥这导向和推动等多种功能.在解决数学问题的过程中,首先得让学生明确自己的解题过程应达到什么终结状态,为了达到这种终结状态,学生当下该怎么做,该做些什么.也就是引导学生构建自己的目标体系,这个目标体系能帮助学生更好的解决问题.
其次,要展现数学思维过程.在教学过程中,有一方面教师需要十分注意,那就是向学生展示自己在解决数学问题过程中的整个思维过程,让学生意识到,老师是怎么意识到这个数学问题用这种解题方式来解答的,具体来说,教师在展现解题思维的过程中,要注意下面几个过程的体现:尝试探索发现的过程;展现思路形成的过程;方法选择优化过程.
最后,引导学生自觉反思解题过程.孔子曾说过:“吾日三省吾身”,这充分说明了反思自己的重要性.那么,这句话应用到数学学习和教学过程中也是同样适用的.如何引导学生对自己的解题过程进行反思呢,具体来说包括以下三个方面:第一方面,引导学生对自身的题解思路、推理过程等进行反思;第二方面,要求学生对题意进行反思;第三方面,引导学生对题目结果进行烦死.积极的反思自己的解题活动,同时养成这一习惯,从而提高学生自我调节和监控的能力.
(2) 增强学生的数学动机水平
     首先,注意理想教育,结合教学内容说明数学应用的广泛性.我们都是抱着理想长大的,理想是对未来的一种表现形式,远大的正确的理想是激发学生长远学习数学的重要动机.数学在高中学习、大学学习乃至研究生学习中都是十分重要的,平时教师在教学的过程中,要结合数学内容加强对数学应用方面的教学,以激发学生学习数学的兴趣.
    其次,注意情景在培养学生数学学习动机中的作用.情景教学在培养学生数学学习动机中有重要的作用.学习动机一般包括自我提高内驱动力、认知驱动力和附属驱动力.自我提高驱动力,是个体在自己的胜任能力或工作能力的范围内赢得相应地位的需要.认知驱力是一种了解和理解的需要,要求掌握知识的需要,以及系统阐述问题和解决问题的需要.附属内驱力是指一个人为了赢得长者(如教师、家长)的赞许或认可而表现出来的把工作做好的一种需要.因此在教学过程中,教师的认同和赞许是十分重要的.教师们在教学的过程中不但不能讽刺挖苦学生,相反要及时发现他们的进步,激发数学学习动机,增强他们的自信心.
(3) 培养学生形成良好的数学自我效能感
    首先,让学生在学习数学的活动中体验到更多的成功.对自我效能感影响最大的是学生在数学学习过程中的成功和失败的经验,失败的经验会降低自我效能感,成功的经验会提高自我效能感.教师在数学过程中要尽量避免学生的直接失败经验,让学生在数学学习活动中更多地体验到成功,学生在看到自己的进步之后,信心大增,直接提高了数学自我效能感.
其次,指导学生树立适当的学习目标.为学生设定长期和短期目标,在目标实现飞进程中,把学生的作业情况和学习情况同既定的目标相比较,既可以使学生达到目标时体验到自我效能感,也可以知道自己进步情况,增强自我效能感.
最后,指导学生掌握正确的学习策略和学习方法.学生在数学学习活动中能否获得相应的数学学习技能,能否掌握正确的学习方法,直接影响到学生的自我效能感.教师应该结合数学学科特点,对学生进行一般性的学习方法指导,给学生归纳出各种题型以及相应的解题技巧.